Question

设复数z满足：（2-

3

+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|．

Answer 1

分析：设z=x+yi（x，y∈R），利用复数的运算和几何意义可得x与y的关系，再根据等比数列的定义、和复数的模运算性质即可得出．

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），
（2-

3

+i）z=（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]i，
该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，
（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]=0
∴y=

3

x．                                                                 
∴z=x+

3

x i（x，∈R），
∵|z-1|²=|z|•|z-2|，|z|²=z

.

z

∴（z-1）（

.

z

-1）=|z|

(z-2)( . z -2)

|z|²-（z+

.

z

）+1=|z|

|z|2-2(z+ . z )+4

2|z|²=（1-2x）²
8x²=4x²-4x+1
x=

-1± 2

2

∴|z|=

2

-1．

点评：熟练掌握复数的运算和几何意义、等比数列的定义、复数的模运算性质等是解题的关键．