Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=2，点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}中，bn=2an．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由正项数列{a_n}中，a₁=2，点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n=n+1．
（2）由a_n=n+1，bn=2an．（n∈N^*），知bn=2n+1 ，由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵正项数列{a_n}中，a₁=2，点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是首项为a₁=2，公差为d=a_n+1-a_n=1的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，
即a_n=n+1．
（2）∵a_n=n+1，bn=2an．（n∈N^*），
∴bn=2n+1 ，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．
即Tn=2n+2-4．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．