Question

10．已知函数$f（x）={log_a}（1-\frac{2}{x+1}）$（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由真数可以取到不等于1的所有正实数得函数的值域，分析出真数的单调性，由复合函数的单调性得到原函数的单调期间；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]，可得0＜a＜1，问题转化为m，n是f（x）=1+log_ax的两根，进一步整理得到ax²+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，然后利用三个二次结合得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．

解答 解：（1）∵$1-\frac{2}{x+1}$≠1，∴$lo{g}_{a}（1-\frac{2}{x+1}）≠0$，
则$f（x）={log_a}（1-\frac{2}{x+1}）$的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞）；
由$1-\frac{2}{x+1}＞0$，解得x＜-1或x＞1，且1-$\frac{2}{x+1}$在（-∞，0）、（0，+∞）上为增函数，
∴当a＞1时，f（x）的增区间：（-∞，-1），（1，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的减区间：（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]，
由m＜n，及1+log_an＜1+log_am，得0＜a＜1，
∴f（m）=1+log_am，f（n）=1+log_an，
∴m，n是f（x）=1+log_ax的两根，
∴${log_a}（1-\frac{2}{X+1}）=1+{log_a}x$，化简得ax²+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，
设G（x）=ax²+（a-1）x+1，则$\left\{{\begin{array}{l}{G（1）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞1}\\{△＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．
∴存在实数a∈（0，3-$2\sqrt{2}$），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]．

点评 本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查了复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．