Question

已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＞B＞C，其中B=60°，且sinA-sinC+

2

2

cos(A-C)=

2

2

．
（1）求A、B、C的大小；
（2）求函数f（x）=sin（2x+A）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据B，把C转化成120°-A，把题设等式用两角和公式和二倍角公式整理求得sin（A-60°）的值，进而求得A，最后利用三角形内角和求得C．
（2）设u=2x+A，利用x的范围求得u的范围，然后利用正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答：解：（1）∵B=60°，
∴A+C=120°，C=120°-A．
∵sinA-sinC+

2

2

cos(A-C)=

2

2

，
∴

1

2

sinA-

3

2

cosA+

2

2

[1-2sin2(A-600)]=

2

2

，
∴sin(A-600)[1-

2

sin(A-600)]=0，
又∵A＞B＞C，∴0°＜A-60°＜60°，
∴sin（A-60°）≠0
∴sin(A-60°)=

2

2

．
又∵0°＜A＜180°，A=105°，B=60°，C=15°．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴u=2x+A∈[

7π

12

，

19π

12

]，
可得sinu=sin(2x+A)∈[-1，

6 + 2

4

]，
于是当x=

11π

24

时，f（x）_min=-1；当x=0时，f(x)max=

6 + 2

4

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，两角和公式的化简求值．三角函数的基本公式和解三角形问题的综合，是考试的热点问题，注重学生基础知识的考查．