Question

（2012•河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；
（Ⅱ）证明平面DPC⊥平面PAC，作EH⊥PC于H，则EH⊥平面PAC，所以∠ECH为直线CE与平面PAC所成角，计算CE，EH，即可求得结论．

解答：（I）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵∠ACD=90°，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面DPC
∴平面DPC⊥平面PAC
作EH⊥PC于H，则EH⊥平面PAC
∴∠ECH为直线CE与平面PAC所成角
在直角△PCD中，CD=2

3

，PC=2

2

，∴PD=2

5

∵E为中点，EH∥CD
∴CE=

5

，EH=

3

∴sin∠ECH=

EH

EC

=

15

5

∴cos∠ECH=

10

5

∴直线CE与平面PAC所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确作出线面角，属于中档题．