Question

如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1

25

，则sinθ+cosθ的值等于

7

5

．

Answer 1

分析：设较大的锐角∠ABF为θ，根据大正方形的面积求出边长AB，由小正方形的面积求出边长EF，在直角三角形ABF中，根据锐角三角形函数定义表示出AF和FB，由大正方形面积减去小正方形得到四个直角三角形的面积，即可求出直角三角形ABF的面积，而三角形ABF的面积可以用直角边AF和FB乘积的一半来求出，两种方法求出的面积相等，列出关系式，求出sinθcosθ，利用平方关系式，求出sinθ+cosθ的值

解答：解：如图，由已知得：∠ABF=θ，(

π

4

＜θ＜

π

2

)，AB=1，EF=

1

5

，
∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，
∵S_△ABF=

1

4

（S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}）=

1

4

（1-

1

25

）=

6

25

，
且S_△ABF=

1

2

AF•BF=

1

2

sinθcosθ，
∴

1

2

sinθcosθ=

6

25

，
2sinθcosθ=

24

25

．
（sinθ+cosθ）²=

49

25

，
sinθ+cosθ=

7

5

．
故答案为：

7

5

．

点评：此题考查了锐角函数定义，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系式的应用，本题的思路为：借助图形，根据题意得出直角三角形ABF的面积，进而得到sinθcosθ的值是解题的关键．