Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（1）求证：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值；
（3）求D到平面BCGF的距离．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出线段BF，CG的方向向量，根据向量相等，可得BF∥CG，进而根据线面平行的判定定理可得BF∥平面ACGD；
（2）分别求出平面BCGF的法向量的平面ADGC的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角D-CG-F的余弦值；
（3）过D作GC的垂线DN，利用等积法求出DN长，进而利用D到平面BCGF的距离d=DN×sin＜

m

，

n

＞，可得答案．

解答：解：由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），
E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（1）

BF

=（0，1，-2），

CG

=（0，1，-2）
∵

BF

=

CG

∴BF∥CG．
又BF?平面ACGD，CG?平面ACGD
故 BF∥平面ACGD…（4分）
（2）

FG

=（-2，1，0），
设平面BCGF的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • CG =y-2z=0 m • FG =-2x+y=0

，
令y=2，则

m

=（1，2，1），…（6分）
而平面ADGC的法向量

n

=（1，0，0）
二面角D-CG-F的余弦值cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

（3）过D作GC的垂线DN，垂足为N，
则DN×CG=DG×AD
∴DN=

DG×AD

CG

=

4 5

5

设D到平面BCGF的距离为d
则d=DN×sin＜

m

，

n

＞=

4 5

5

×

30

6

=

2 6

3

…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，点到平面的距离，二面角的平面角及求法，其中建立空间坐标系，将空间问题转化为向量问题是解答的关键．