Question

在已知抛物线y=x²上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+

9

2

对称，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设MN的方程为x+ky+c=0，代入y=x²，得k²y²+（2kc-1）y+c²=0，由判别式△＞0，得2kc＜

1

2

，MN中点纵坐标

1-2kc

2k2

，横坐标

2kc-1

2k

-c=-

1

2k

，从而

1-2kc

2k2

=k•(-

1

2k

)+

9

2

=4，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：设MN的方程为x+ky+c=0  （k≠0）
代入y=x²
y=（ky+c）²
k²y²+（2kc-1）y+c²=0
判别式△=（2kc-1）²-4k²c²＞0，
-4kc+1＞0，2kc＜

1

2

，
MN中点纵坐标

1-2kc

2k2

，横坐标

2kc-1

2k

-c=-

1

2k

，
∵中点在y=kx+

9

2

上
∴

1-2kc

2k2

=k•(-

1

2k

)+

9

2

=4
1-2kc=8k²
2kc=1-8k²＜

1

2

∴8k²＞

1

2

，k²＞

1

16

，
解得k＞

1

4

或k＜-

1

4

．
∴k的取值范围为（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．
故答案为：（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．