Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，求a，b的值；
（3）若关于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，集合Q={x|0≤x≤1}，若 P∩Q=，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），

且关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，

∴△=（a+1）2﹣4≤0，

解得﹣3≤a≤1，

∴实数a的取值范围是﹣3≤a≤1；

（2）解：∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，

∴对应方程x2﹣（a+1）x+1=0的两个实数根为b、2，

由根与系数的关系，得 ，

解得a= ，b= ；

（3）解：∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，

集合Q={x|0≤x≤1}，当 P∩Q=时，

即不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立；

∴x∈[0，1]时，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，

∴a+1＜x+ 对于x∈（0，1]时恒成立；

∴a+1＜2，

即a＜1，

∴实数a的取值范围是a＜1．

【解析】（1）应用一元二次不等式恒成立时判别式△≤0，求出a的取值范围；（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，列出方程组，求出a、b的值；（3）问题转化为不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立，由此求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了集合的交集运算和解一元二次不等式的相关知识点，需要掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边才能正确解答此题．