精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
19.已知向量$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$,1),$\overrightarrow{n}$=(cos$\frac{x}{4}$,cos2$\frac{x}{4}$),f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)将f(x)的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到g(x)的图象,若g(x)-k≤0在区间[0,$\frac{7π}{3}$]上恒成立,求实数k的取值范围.

分析 (1)利用向量的数量积运算、二倍角公式,两角和的正弦公式化简解析式,由正弦函数的增区间求出f(x)单调递增区间;
(2)由三角函数图象的平移法则求出g(x),由由x的范围和正弦函数的性质求出g(x)的值域,由条件和恒成立问题转化为求最值,从而求出实数k的取值范围.

解答 解:(1)由题意得,f(x)=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos2$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}$,
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}(k∈Z)$得,
$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}(k∈Z)$,
∴函数f(x)的单调递增区间是$[4kπ-\frac{4π}{3},4kπ+\frac{2π}{3}](k∈Z)$;
(2)将f(x)的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到g(x)=$sin(\frac{x}{2}-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}$的图象,
当$x∈[0,\frac{7π}{3}]$时,$-\frac{π}{6}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤π$,∴$-\frac{1}{2}≤sin(\frac{x}{2}-\frac{π}{6})≤1$,
∴$0≤sin(\frac{x}{2}-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$,
∵g(x)-k≤0在区间[0,$\frac{7π}{3}$]上恒成立,
∴k≥g(x)max=$\frac{3}{2}$,
∴实数k的取值范围是[$\frac{3}{2}$,+∞).

点评 本题考查正弦函数的图象与性质,向量的数量积运算、二倍角公式,两角和的正弦公式等,以及恒成立问题的转化,考查转化思想,数形结合思想,化简、变形能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.已知函数f(x)=xlnx,g(x)═ax2-(a+1)x+1(a∈R),当a=0时,求f(x)+g(x)的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.阅读如图所示的程序框图,若输入n=2017,则输出的S值是(  )
A.$\frac{2016}{4033}$B.$\frac{2017}{4035}$C.$\frac{4032}{4033}$D.$\frac{4034}{4035}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

7.不等式-x2-2x+3≥0的解集为(  )
A.{x|-1≤x≤3}B.{x|x≥3或x≤-1}C.{x|-3≤x≤1}D.{x|x≤-3或x≥1}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.某饮料店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间有下列数据:
x-2-1012
y54221
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究,分别得到了x与y之间的四个线性回归方程,其中正确的是(  )
A.$\stackrel{∧}{y}$=-x+2.8B.$\stackrel{∧}{y}$=-x+3C.$\stackrel{∧}{y}$=-1.2x+2.6D.$\stackrel{∧}{y}$=2x+2.7

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$(n∈N+).
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)运用(Ⅰ)中的猜想,写出用三段论证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列时的大前提、小前提和结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知圆C1:x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2,过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D,且l1与l2斜率的乘积为-$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求点D的轨迹C2方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点,且直线l与圆C1交于P、Q两点.求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

8.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线方程是2x-y-1=0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.已知函数f(x)=2lnx-ax2+1
(1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;
(2)存在实数m使得f(x)=m的两个零点α、β都属于区间[1,4],且β-α=1,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案