Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，且${S_{n-1}}={a_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由已知条件分别取n=2，3，4，能依次求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，当n=1时，和n=2时，验证猜想成立，然后假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时，猜想成立，由此能证明${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且${S_{n-1}}={a_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．
∴a₂=S₁=a₁=2，
a₃=S₂=2+2=4，
a₄=S₃=2+2+4=8．
（2）由a₁=2，a₂=2，a₃=4，a₄=8，猜想${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
①当n=1时，a₁=2；当n=2时，a₂=2，成立．
②假设n=k时，成立，即${a}_{k}={2}^{k-1}$，k≥2，
则当n=k+1时，a_k+1=S_k=2+2+4+8+…+2^k-1=2+$\frac{2（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=2^k，成立，
由①②，得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的前四项的求法，考查数列的通项公式的猜想和证明，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用．