Question

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的范围．
（3）试根据轨迹C₂和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线C₂的方程为，则a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，由此能求出故C₂的方程．
（2）将代入得．由直线l与双曲线C₂交于不同的两点得：，由此能求出k的取值范围．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x，y），线段AB的中垂线方程为，令y=0，得，由此能求出m的范围．
解答：解：（1）设双曲线C₂的方程为，
则a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，故C₂的方程为
（2）将代入得
由直线l与双曲线C₂交于不同的两点得：∴且k²＜1…①A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则∴=
又∵，得x₁x₂+y₁y₂＞2，∴
即，解得：②，故k的取值范围为．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；
当k≠0时，设线段AB的中点M（x，y），
由（2）知
于是，线段AB的中垂线方程为，令y=0，得，由①知，
∴，∴m∈R，且m≠0．
综上所述，m∈R．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．