Question

【题目】已知函数f(x)＝ (a<0)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)极小值为f(2)＝－，无极大值．(2) (－e2,0)．

【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到表达式，根据极值的定义得到函数f(x)的极小值为f(2)＝－；（2）研究函数的F(x)＝f(x)＋1单调性，画出函数的大概变化趋势，使得函数和x轴没有交点即可。

解析：

(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.

由f′(x)＝0，得x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	极小值	?

所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－，函数f(x)无极大值．

(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.

当a<0时，F′(x)，F(x)随x的变化情况如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	极小值	?

若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，

解得a>－e2，所以此时－e2<a<0.

故实数a的取值范围为(－e2,0)．