Question

已知点P（5，-3），点Q在圆x²+y²=4上运动，线段PQ的中点为M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

解：设M（x，y），Q（a，b）
由P（5，-3），M是PQ的中点
故有a=2x-5，b=2y+3
又Q为圆x²+y²=4上一动点，
∴（2x-5）²+（2y+3）²=4，
整理得（x-）²+（y+）²=1，
故PQ的中点M的轨迹方程是（x-）²+（y+）²=1．
分析：本题宜用代入法求轨迹方程，设M（x，y），Q（a，b）由于PQ的中点是M，点P（5，-3），故可由中点坐标公式得到a=2x-5，b=2y+3，又Q（a，b）为圆x²+y²=4上一点动点，将a=2x-5，b=2y+3代入x²+y²=4得到M（x，y）点的坐标所满足的方程，整理即得点M的轨迹方程．
点评：本题的考点是轨迹方程，考查用代入法求支点的轨迹方程，代入法适合求动点与另外已知轨迹方程的点有固定关系的点的轨迹方程，用要求轨迹方程的点的坐标表示出已知轨迹方程的点的坐标，再代入已知的轨迹方程，从而求出动点的坐标所满足的方程．题后要好好总结代入法求轨迹的规律与步骤．