Question

已知{a_n}为等差数列，且a₁＋a₃＝8，a₂＋a₄＝12.
（1）{a_n}的通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k，S_k＋2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

(1) a_n＝2n.(2) k＝6.

试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，借助于条件a₁+a₃=12，a₂+a₄=6，可求a₁，d的值，从而可求 数列的通项公式a_n及它的前n项和S_n．
（2）由(1)可得S_n＝n(n＋1)，那么结合因为a₁，a_k，S_k＋2成等比数列得到k的值。
解：(1)设数列{a_n}的公差为d，由题意知
解得a₁＝2，d＝2.
所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得S_n＝＝＝n(n＋1)．
因为a₁，a_k，S_k＋2成等比数列，所以＝a₁S_k＋2.
从而(2k)²＝2(k＋2)(k＋3)，即k²－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.
点评：解决该试题的关键是对于等差数列的等差中项的性质的灵活运用求解通项公式。