Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求实f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（Ⅲ）当a＞0时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由对数式的真数大于0联立不等式组求得函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）直接利用奇函数的定义判断f（x）为奇函数；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，即log_a（x+1）＞log_a（1-x），然后对a＞1和0＜a＜1分类求解f（x）＞0的解集．

解答： 解：（Ⅰ）由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（Ⅱ）f（x）为奇函数．
事实上，f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

．
定义域为（-1，1），
f(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x）．
∴函数为定义域上的奇函数；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）①．
当a＞1时，①等价于

-1＜x＜1 x+1＞1-x

，解得：0＜x＜1；
当0＜a＜1时，①等价于

-1＜x＜1 x+1＜1-x

，解得：-1＜x＜0．
∴当a＞1时，不等式f（x）＞0的解集为：{x|0＜x＜1}；
当0＜a＜1时，不等式f（x）＞0的解集为：{x|-1＜x＜0}．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数奇偶性的判定方法，训练了利用函数的单调性求解对数不等式，是基础题．