Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，等差数列{b_n}中，b₁=2，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上；
（Ⅰ）求a₁和a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由于a_n是S_n与2的等差中项，可得2a_n=S_n+2，分别令n=1，2即可得出a₁，a₂；
（II）设等比数列{a_n}的公比为q，则q=

a2

a1

=

4

2

=2，利用通项公式an=a1qn-1即可得出；由于点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，可得b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，利用等差数列的通项公式就看得出．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（I）∵a_n是S_n与2的等差中项，∴2a_n=S_n+2，
当n=1时，2a₁=a₁+2，解得a₁=2；
当n=2时，2a₂=a₁+a₂+2，∴a₂=2+2=4．
（II）设等比数列{a_n}的公比为q，则q=

a2

a1

=

4

2

=2，
∴an=a1qn-1=2×2^n-1=2ⁿ．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2；
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（III）cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，
∴T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

4(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴Tn=(n-1)•2n+2+4．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．