Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为$\frac{π}{4}$．
（I）求函数f（x）的单调递增区间
（II） 在△ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$且a=1，b=$\sqrt{2}$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表达式，得到ω的值，从而求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）根据正弦定理求出B的值，从而求出C的正弦值，求出三角形的面积即可．

解答 解：（I）f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
得f（x）的增区间为[-$\frac{5}{12}$π+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，（k∈Z）；
（II）∵若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，∴A=$\frac{π}{6}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
?当B=45°时，C=105°
∵sin105°=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
?当B=135°，C=15°，
sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查正弦定理的应用以及三角形的面积公式，是一道中档题．