Question

设向量

a

=(x+1，y)，

b

=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|

a

|+|

b

|=4．
（1）求点p的轨迹方程；
（2）设点p的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F（1，0）的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题设可得

(x+)2+y2

+

(x-1)2+1

=4根据椭圆的定义可判断出动点P的轨迹M是以点E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．由c和a求得b，点P的轨迹方程可得．
（2）直线BC的方程x=my+1与椭圆方程联立消去x，设点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根据韦达定理可分别表示出y₁+y₂，y₁y₂进而表示出|BC|，表示点A到直线BC的距离，进而可表示三角形ABC的面积根据m的范围确定面积的最大值．

解答：解：（1）由已知，

(x+)2+y2

+

(x-1)2+1

=4，
所以动点P的轨迹M是以点E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
因为c=1，a=2，则b²=a²-c²=3．
故动点P的轨迹M方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线BC的方程x=my+1与（1）中的椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1联立消去x
可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|BC|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(m2+1)

3m2+4

点A到直线BC的距离d=

3

1+m2

S△ABC=

1

2

|BC|d=

18 1+m2

3m2+4

令

1+m2

=t，t≥1，
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=

18t

3t2+1

=

18

3t+ 1 t

≤

9

2

故三角形的面积最大值为

9

2

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．