Question

已知函数f（x）=e^x-x-1
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范围；
（3）设n∈N^*，求证：

n

k=1

(

k

n

)n＜2．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=e^x-1，f（1）=e-2，由此能求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）设g（x）=f（x）-tx²（x≥0），则有g（0）=0，即需g_min（x）≥g（0），g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），则有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．由此进行分类讨论，能求出t的取值范围．
（3）当x＞0时，f'（x）=e^x-1＞0，f（x）≥0恒成立，故e^x≥1+x，由此能够证明

n

k=1

(

k

n

)n＜2．

解答：（1）解：f'（x）=e^x-1，
f（1）=e-2，
所以所求切线方程为y-（e-2）=（e-1）（x-1），
即（e-1）x-y-1=0…（2分）
（2）解：设g（x）=f（x）-tx²（x≥0），
则有g（0）=0，
即需g_min（x）≥g（0），
g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），
令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），则有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．
①当t≤0时，h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，则g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0，符合题意．
②若t＞0，则令h'（x）=0，得x=ln2t，
（ⅰ）若 ln2t≤0即0＜t≤

1

2

时，
h'（x）＞0所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，则g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0，符合题意．
（ⅱ） ln2t＞0即t＞

1

2

时，
x∈（0，ln2t），h'（x）＜0，所以h（x）在（0，ln2t）上单调递减，
所以h（x）＜h（0）=0，则g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，ln2t）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，不符合题意，
综上所述：t≤

1

2

．
（3）证明：当x＞0时，f'（x）=e^x-1＞0，
∴f（x）≥0恒成立，∴e^x≥1+x，
令x=-

i

n

（n∈N^*，i=1，2，3，4，…，n）
∴e-

i

n

＞1-

i

n

＞0，
e^-i＞（

n-i

n

）ⁿ，

n

i=1

(

i

n

)n=（

1

n

）¹+（

1

n

）²+…+（

1

n

）ⁿ＜e^-（x-1）+e^-（x-2）+…+e^-1+e⁰
=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

＜2．

点评：本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的应用，合理地运用分类讨论思想和等价转化思想解题．