Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且

m

=（sinA+sinB+sinC，sinC），

n

=（sinB，sinB+sinC-sinA），若

m

∥

n

（1）求A的大小；
（2）设a=

3

，S为△ABC的面积，求S+

3

cosBcosC的最大值及此时B的值．

Answer 1

分析：（1）共线向量的坐标运算可得（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长，再利用余弦定理即可求得A的大小；
（2）依题意，利用正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，可求得S=

1

2

bcsinA=

3

sinBsinC，逆用两角差的余弦即可求得S+

3

cosBcosC取最大值及此时B的值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，
∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC
根据正弦定理得（a+b+c）（c+b-a）=bc，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

2π

3

；
（2）∵a=

3

，A=

2π

3

，
∴由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2sinB×2sinC×

3

2

=

3

sinBsinC，
∴S+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos（B-C），
∴当B=C时，
即B=C=

π

6

时，S+

3

cosBcosC取最大值

3

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．