Question

（1）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其中h是边AB上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：a+b≥

c2+4h2

的证明．
（2）在△ABC中，h是边AB上的高，已知

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=2，并且该三角形的周长是12；
①求证：c=2h；
②求此三角形面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）首先利用分析法进行证明，进一步利用正弦定理和余弦定理得证．
（2）进一步利用（1）的结论和三角的和与差的正弦公式转换得以证明，最后利用三角形的面积求的结果．

解答： 证明：（1）（分析法）要证明：a+b≥

c2+4h2

，只需证明（a+b）²≥c²+4h²，利用余弦定理和正弦定理即证：
2ab+2abcosC≥4h2=4

a2b2sin2C

c2

即证1+cosC≥

2absin2C

c2

=

2ab(1+cosC)(1-cosC)

c2

由于1+cosC＞0
即证c²≥2ab（1-cosC）=2ab-a²-b²+c²
完全平方式成立得以证明．
（2）①在△ABC中，h是边AB上的高，已知

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=2
则：

cosB

sinB

+

cosA

sinA

=

sinC

sinBsinA

=2
利用正弦定理得：c=2asinB=2h
②该三角形的周长是12
则：利用（1）的结论12-2h≥

c2+4h2

=2

2

h
解得：h≤6

2

-6
进一步利用三角形面积公式求得：
S≤108-72

2

Smax=108-72

2

．

点评：本题考查的知识点：余弦定理及正弦定理的应用，三角形面积公式，及相关的运算问题．