Question

（1）已知f（x）=2+log₄x（1≤x≤16），求函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域．
（2）若直线y=4a与y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域，然后将函数化成关于log₄x的二次函数，进行配方找出对称轴，而0≤log₄x≤2，利用对称轴与区间的位置关系求出最值，即可求出值域．
（2）分别作出直线y=4a与y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的图象，如图所示，由数形结合易得结果．

解答：解：（1）由已知得：

g(x)=(2+log4x)2+(2+log4x2) =lo g 2 4 x+6log4x+6

又

1≤x≤16 1≤x2≤16

⇒1≤x≤4，
令log₄x=t，则g（x）=h（t）=t²+6t+6（0≤t≤1）
∵h（t）在[0，1]上为增函数，
∴h（t）_min=h（0）=6，h（t）_max=h（1）=13，
∴g（x）的值域为[6，13]．
（2）直线y=4a与y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的图象，如图所示，
直线y=4a与y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，
由数形结合易得：0＜a＜

1

2

．

点评：主要考查了带绝对值的函数、函数的值域．本题以对数函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，解题的关键是定义域，属于基本题．