Question

8．已知数列{a_n}是等差数列，a₃=5，a₅=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
（1）由题意可得a₁+2d=5，a₁+4d=9；从而求通项公式即可；
（2）化简$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，从而利用裂项求和法求前n项和公式即可．

解答 解：设数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
（1）由a₃=5，a₅=9得：
a₁+2d=5，a₁+4d=9；
解得a₁=1，d=2；
∴a_n=2n-1；
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用，属于中档题．