Question

（2008•湖北模拟）定义在R上的函数f（x）满足f(x+

π

3

)=-f(x)及f（-x）=f（x），则f（x）可以是（　　）

• A．f(x)=2sin

  x

  3

• B．f（x）=2sin3x
• C．f(x)=2cos

  x

  3

• D．f（x）=2cos3x

Answer 1

分析：因为函数满足f（-x）=f（x），所以函数为偶函数，又因为f(x+

π

3

)=-f(x)，所以可得函数是周期为

2π

3

的周期函数，再结合余弦函数与正弦函数的性质可得答案．

解答：解：因为函数满足f（-x）=f（x），
所以函数为偶函数，
因为函数f(x)=2sin

x

3

与函数f（x）=2sin3x是奇函数，
所以排除答案A与B．
因为f(x+

π

3

)=-f(x)，
所以f（x）=f（x+

2π

3

），即函数是周期为

2π

3

的周期函数，
由三角函数的周期公式T=

2π

ω

可得：函数f（x）=2cos3x的周期为：

2π

3

，函数f(x)=2cos

x

3

的周期为：6π．
故选D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，解决此题的关键是熟练掌握三角函数的有关性质，以及奇偶性的判断与周期的求法．