Question

【题目】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1 ， M，N分别是A1B，B1C1的中点．

（1）求证：MN⊥平面A1BC；
（2）求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．

又侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

（2）解：如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．

设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝ a，BC1＝ a．

在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝ ＝ ，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．

【解析】(I)证明线面垂直，关键是证明线线垂直，根据BC⊥AC1，A1C⊥AC1，AC1⊥平面A1BC，又因为MN∥AC1，可得；
（II）由AC1⊥平面A1BC，得∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角，解三角形即可.