Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(

1

2

)=

2

5

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且 f（

1

2

）=

2

5

，可得 f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-

2

5

，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）直接利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．

解答：解：：（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且 f（

1

2

）=

a• 1 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴f（-

1

2

）=

a•(- 1 2 )+b

1+(- 1 2 )2

=-f（

1

2

）=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x1 2

-

x2

1+x2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x1 2)(1+x2 2)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t²）＜0
∴f（t²）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴

t2＜1-t -1＜t2＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

5 -1

2

故关于t的不等式的解集为 （0，

5 -1

2

）．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．