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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求证:BE∥平面PAD.
分析:(1)由题意可得:PA⊥CD,结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD,再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直.
(2)取PD的中点为F,连接EF,AF,即可得到EF∥CD,CD=2EF,由题中条件可得EF=AB,并且EF∥AB,进而得到四边形ABEF为平行四边形,得到BE∥AF,再利用线面平行的判定定理得到线面平行.
解答:证明:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
所以PA⊥CD,
又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,AD?平面PAD,PA?平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,
因为CD?平面PCD,
所以平面PDC⊥平面PAD.
(2)取PD的中点为F,连接EF,AF,
因为E为PC的中点,
所以EF为△PCD的中位线,
所以EF∥CD,CD=2EF,
又因为CD=2AB,AB∥CD,
所以EF=AB,并且EF∥AB,
所以四边形ABEF为平行四边形,
所以BE∥AF,
因为AF?平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
点评:本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理,以及考查线面平行的判定定理,解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征,此题属于基础题,考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中点.求证:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求三棱锥P-MBD的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E-BD-A的大小为45°,若存在,试求
AE
AP
的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,点F是PB中点.
(Ⅰ)若E为BC中点,证明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,设PC与AD的夹角为θ.
(1)求点A到平面PBD的距离;
(2)求θ的大小;当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ,求动点Q的轨迹方程.

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