Question

3．设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+sin2x
=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，得2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
所以f（x）的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为0．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．