Question

【题目】设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由blna﹣alnb=a﹣b，得blna+b=alnb+a，即 = ，

设f（x）= ，x＞0，

则f′（x）=﹣ =，

由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，

由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，

即当x=1时，函数f（x）取得极大值，

则 = ，等价为f（a）=f（b），

则a，b一个大于1，一个小于1，

不妨设0＜a＜1，b＞1．

则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，

∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，则a+b﹣ab＞1成立，故①正确，

②由即 = ，

得 = ，

由对数平均不等式得 = ＞ ，

即lna+lnb＞0，即lnab＞0，

则ab＞1，

由均值不等式得a+b＞2，故②正确，

③令g（x）=﹣xlnx+x，则g′（x）=﹣lnx，

则由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，

由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，

再令h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，

则h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0，

则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上为增函数，

则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0，

则g（x）＜g（2﹣x），

即g（ ）＜g（2﹣ ），

∵g（ ）= ﹣ ln = + lna= = ，

∴g（ ）=g（ ）

则g（ ）=g（ ）＜g（2﹣ ），

∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，

∴ ＞2﹣ ，

即 + ＞2．

故③正确，

故选：D