Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．
（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论
（2）多面体A-CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积．

解答：解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2

2

，∴∠CBF=

π

2

．
（1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．

（2）取DE的中点H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=

2

．
S矩形CDEF=DE•EF=4

2

，
∴棱锥A-CDEF的体积为
V=

1

3

•S_矩形CDEF•AH=

1

3

×4

2

×

2

=

8

3

．

点评：本题考查的知识点是简单空间图形有三视图、棱锥的体积及直线与平面平行的判定．根据三视图判断几何体的形状及线面之间的位置关系及长度（面积）大小是解答的关键．