Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为（　　）

Answer 1

分析：利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，进而得到x_n、a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：∵y′=（n+1）xⁿ，∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线的斜率为y′|_x=1=n+1．
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴a_n=lgx_n=lg

n

n+1

=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100
=-2．
故选B．

点评：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、“裂项求和”，属于基础题．