Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入题中关系式解出f（0）=0，再令y=-x，证出f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，得到f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂可得f（x₂-x₁）＜0，从而证出f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，所以y=f（x）在R上为减函数．再取x=y=1，算出f（3）=3f（1）=-6且f（-3）=-f（3）=6，可得函数的最大值最小值．

解答：解：（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．…（2分）
再令y=-x，则f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0．
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．…（4分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0．…（6分）
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），可得y=f（x）在R上为减函数．…（9分）
因此f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值． 
∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函数最大值为6，最小值为-6．…（12分）

点评：本题着重考查了函数的奇偶性、单调性和利用赋值法解决抽象函数问题等知识，属于中档题．从已知条件中找出具体函数的性质，使抽象函数具体化是解决本题的关键．