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如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,连接A1B,A1P.(如图2)
(Ⅰ)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ)求证:A1E⊥EP.
【答案】分析:(Ⅰ)取A1E中点M,利用三角形中位线的性质,可得QM∥BE,且,进一步可得QM∥PF,且QM=PF,从而四边形PQMF为平行四边形,可得PQ∥FM,利用线面平行的判定,可得PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ) 取BE中点D,可得△ADF是正三角形,从而可得EF⊥AD,即A1E⊥EF,根据平面A1EF⊥平面EFB,可得A1E⊥平面BEF,利用线面垂直的性质,可得A1E⊥EP.
解答:证明:(Ⅰ)取A1E中点M,连接QM,MF.
在△A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,
所以QM∥BE,且
因为
所以PF∥BE,且
所以QM∥PF,且QM=PF.
所以四边形PQMF为平行四边形.
所以PQ∥FM.                                                …(5分)
又因为FM?平面A1EF,且PQ?平面A1EF,
所以PQ∥平面A1EF.                                           …(7分)
(Ⅱ) 取BE中点D,连接DF.
因为AE=CF=1,DE=1,
所以AF=AD=2,而∠A=60°,即△ADF是正三角形.
又因为AE=ED=1,所以EF⊥AD.
所以在图2中有A1E⊥EF.…(9分)
因为平面A1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF,
所以A1E⊥平面BEF.…(12分)
又EP?平面BEF,
所以A1E⊥EP.…(14分)
点评:本题考查空间线面位置关系,考查线面平行、线面垂直,解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定方法,属于中档题.
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(Ⅱ)求证:A1E⊥EP.

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3
2
2

(1)证明:DE∥平面BCF;     
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=
2
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时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG

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