Question

【题目】设函数f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）﹣2（ex+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；
（3）若函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex（ax+b），g（x）=x2+2bx+2

∴f′（x）=ex（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，

由题意它们在x=0处有相同的切线，

∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，

f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，

∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2

（2）解：由题意F（x）=2xex+x2+2x+2，

∴F′（x）=2（ex+1）（x+1），

由F′（x）＞0，得x＞﹣1；由F′（x）＜0，得x＜﹣1，

∴F（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，

∴F（x）极小值=F（﹣1）=1﹣ ＞0，

∴函数F（x）的零点个数为0．

（3）解：f′（x）=2ex（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，

由f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调调递减，

∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2．

①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在（t，﹣2）单调递减，（﹣2，t+1）单调递增，

∴ ．

②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，

∴

∴φ（t）= ，

当﹣3＜t＜﹣2时，φ（t）≤4e2，

当t≥﹣2时，φ（t）=2et（t+1），

当﹣2≤t≤﹣1时，φ（t）≤4e2，

当t＞﹣1时，φ（t）=2et（t+1）是增函数，又φ（2）=6e2，

∴﹣1＜t≤2，

∴不等式φ（t）≤4e2的解集为（﹣3，2]．

【解析】（1）由已知条件得f′（x）=ex（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，f′（0）=a+b=g′（0）=2b，f（0）=b=g（0）=2，由此求出a=b=2，从而能求出f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．（2）由题意F′（x）=2（ex+1）（x+1），由导数性质得F（x）极小值=F（﹣1）=1﹣ ＞0，由此求出函数F（x）的零点个数为0．（3）f′（x）=2ex（x+2），由导数性质求出φ（t）= ，由此能示出不等式φ（t）≤4e2的解集．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．