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    （本题满分12分）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与

    底面三角形的各边长都等于a，点D为BC的中点．

    求证：（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；

    （2）A1B∥平面AC1D．（3）求二面角C1－DA－C的大小.

    (Ⅰ) 略   (Ⅱ) 略  （Ⅲ）


    解析:

    证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱BB1⊥平面ABC．

    又BB1平面BCC1B1，∴侧面BCC1B1⊥平面ABC．在正三角形ABC中，

    D为BC的中点，∴AD⊥BC．

    由面面垂直的性质定理，得AD⊥平面BCC1B1．又AD平面AC1D，

    ∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．

       （2）连A1C交AC1于点O，四边形ACC1A1是平行四边形，O是A1C的中点．又D是BC的中点，连OD，由三角形中位线定理，得A1B1∥OD．∵OD平面AC1D，A1B平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．……..8分

    ..12分

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