Question

在平面直角坐系xOy中，已知直线y=

3

被圆C₁：x²+y²+8x+F=0截得弦长为2．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设P是y轴上的动点，PA，PB分别切圆C₁于A，B两点，求动弦AB中点的轨迹方程；
（3）设圆C₁和x轴相交于C，D两点，点Q为圆C₁上不同于C，D的任意一点，直线QC，QD交y轴于M，N两点，当点Q变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）将y=

3

代入圆C₁：x²+y²+8x+F=0，得到二次方程，运用韦达定理，再由弦长公式，即可得到F，进而求出圆的方程；
（2）可设P（0，t），把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，求出以PC₁为直径的圆的方程，将两圆方程相减，即可得到交线的方程，再由PC₁的方程，消去参数t，即可得到轨迹方程；
（3）先令圆方程中y=0分别求出点C和点D的坐标，可设出点Q的坐标，分别表示出直线QC和QD的斜率，然后写出直线QC和QD的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C₂的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为

1

2

MN，写出圆C₂的方程，化简后，令y=0求出圆C₂过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C₁的内部，得证．

解答： 解：（1）将y=

3

代入圆C₁：x²+y²+8x+F=0，得
x²+8x+3+F=0，则x₁+x₂=-8，x₁x₂=3+F，
则弦长为

(-8)2-4(3+F)

=2，解得F=12．
即圆C₁的方程为：x²+y²+8x+12=0；
（2）连接PC₁，则PC₁⊥AB，垂足E即为AB的中点，
可设P（0，t），则弦AB可看作是圆C₁和以PC₁为直径的圆的交线，
以PC₁为直径的圆的方程为：x（x+4）+y（y-t）=0，
而圆C₁的方程为：x²+y²+8x+12=0，两圆方程相减得，AB的方程为：4x+ty+12=0，
又PC₁的方程为：tx-4y+4t=0，联立两直线方程，消去t，
即可得到动弦AB中点的轨迹方程为：x²+y²+7x+12=0；
（3）令圆的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则C（-6，0），D（-2，0）
设Q（m，n）（n≠0），则（m+4）²+n²=4，得到（m+4）²-4=-n²①
k_QC=

n

m+6

，则QC：y=

n

m+6

（x+6），即有M（0，

6n

m+6

），
同理QD：y=

n

m+2

（x+2），即有N（0，

2n

m+2

），
则圆C₂：x²+（y-

6n

m+6

）（y-

2n

n+2

）=0，
将①代入化简得，x²+y²-（

6n

m+6

+

2n

m+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

，
得点R（-2

3

，0），
由R到圆C₁的圆心（-4，0）的距离d=4-2

3

＜2，则点R在圆C₁内，
所以当点Q变化时，以MN为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点R（-2

3

，0）．

点评：本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题．