Question

已知数列{a_n}，{b_n}，满足条件a_n+1=2a_n+k（k≠0），b_n=a_n+1-a_n≠0．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若k=a₁=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=2a_n+k（k≠0），
∴a_n=2a_n-1+k
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）
∵b_n=a_n+1-a_n≠0．
∴b_n=2b_n-1
∴数列{b_n}是以2为公比的等比数列
（2）解：∵k=a₁=1，
∴a₂=2a₁+1=3
∴b₁=a₂-a₁=2
由（1）可得数列{b_n}是以2为公比，以2为首项的等比数列
∴
即
∴a₂-a₁=2

…

以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+2²+2³+…+2^n-1==2ⁿ-2
∴
分析：（1）由∵a_n+1=2a_n+k（k≠0），可得a_n=2a_n-1+k，两式相减可得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），可证
（2）由（1）及已知可求b_n，结合已知b_n=a_n+1-a_n≠0可得，利用叠加可求a_n
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式的应用，叠加法的应用在数列的通项公式中的应用