Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6． ① x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥ ；
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈；
③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤ ，
综上所述，不等式的解集为（﹣ ] ；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，
∴ = （ ）（2s+t）= （10+ + ）≥6，当且仅当s= ，t=2时取等号
【解析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．