Question

【题目】某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；
（2）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由频率分布直方图得[70，80）对应的小矩形最高，

∴众数为： =75，

∵[50，70）的频率为（0.012+0.018）×10=0.3，

[70，80）的频率为0.04×10=0.4，

∴中位数为：70+ =75，

平均值为：55×0.12+65×0.18+75×0.40+85×0.22+95×0.08=74.6

所以综合素质成绩的平均值为74.6．

（2）解：由频率分布直方图知优秀率为10×（0.008+0.022）=0.3，

由题意知ξ～B（3，0.3）， ，

，

，

，

故ξ的分布列为

P	0	1	2	3
ξ	0.343	0.441	0.189	0.027

E（ξ）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

【解析】（1）由频率分布直方图得[70，80）对应的小矩形最高，能出众数，由频率分布直方图的性质能求出中位数和综合素质成绩的平均值．（2）由频率分布直方图知优秀率为0.3，由题意知ξ～B（3，0.3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平均数、中位数、众数和离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．