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已知函数f(x)=
xax+b
(a,b是常数,且ab≠0)
,满足f(2)=1,且方程f(x)=x有唯一解.
(1)求f(x)<0的解析式;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)<0的值域.
分析:(1)根据方程f(x)=x有唯一解,可得b的值,再利用f(2)=1,求出a,从而求出函数的解析式;
(2)先证明(1)中求得的函数在区间[1,2]上的单调递增,根据函数的单调性求出函数的值域.
解答:解:(1)∵f(x)=x有唯一解  即
x
ax+b
=x
有唯一解,
∴ax2+(b-1)x=0有唯一解,又ab≠0,
∴△=(b-1)2=0解得b=1
又f(2)=1所以
2
2a+1
=1
解得a=
1
2

f(x)=
2x
x+2

(2)由(1)知f(x)=
2x
x+2
=2-
4
x+2

设x1,x2∈[1,2],且x1<x2
f(x1)-f(x2)=2-
4
x1+2
-2+
4
x2+2
=
4(x1-x2)
(x1+2)(x2+2)

∵x1,x2∈[1,2],且x1<x2
∴x1-x2<0<x1+2<x2+2,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2
∴f(x)在区间[1,2]上为增函数,
f(x)min=f(1)=
2
3
,f(x)man=f(2)=1
∴函数f(x)的值域为[
2
3
,1]
点评:本题考查了函数值域的求法,考查了函数解析式的求法,利用定义法证明函数在区间[1,2]上的单调递增是解答本题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
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(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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