Question

已知，n∈N_＋，A_n＝2n²，B_n＝3ⁿ，试比较A_n与B_n的大小，
并加以证明．

Answer 1

n∈N_＋时，A_n<B_n成立

当n＝1时：A₁＝2，B₁＝3，有A₁<B₁；
当n＝2时：A₂＝8，B₂＝9，有A₂<B₂；
当n＝3时：A₃＝18，B₃＝27，有A₃<B₃.
由上可归纳出当n∈N_＋时，都有A_n<B_n.
下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：
(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N_＋，且k≥1)时不等式成立，即2k²<3^k，
则3^k＋1＝3×3^k＝3^k＋3^k＋3^k>2k²＋2k²＋2k².
由于2k²≥4k (k≥2)，2k²>2，
所以3^k＋1>2k²＋2k²＋2k²>2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²，
这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合(1)、(2)可知，n∈N_＋，n≥2时，都有A_n<B_n成立．
综上可知n∈N_＋时，A_n<B_n成立．