Question

若有穷数列{a_n}满足：（1）首项a₁=1，末项a_m=k，（2）a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n ，（n=1，2，…，m-1），则称数列{a_n}为k的m阶数列．

（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；

（Ⅱ）设数列{b_n}是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．          ………………2分

（Ⅱ）由已知在数列{a_n}中 a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n，

当为偶数时，，或．

因为 ，

所以在数列{a_n}中 中i的个数不多于中j的个数，

要使项数m最小，只需 ．                     ……………………5分

当a_m为奇数时，必然有 ，是偶数，可继续重复上面的操作．

所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．

因为，且，

只需除以次2，得到为奇数；

减1，得到为偶数，

再除以次2，得到；

再减1，得到为偶数，

…………，

最后得到为偶数，除以次2，得到1，即为．

所以=．  ……………………13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）