Question

若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)，则f（x）的解析式可以是（　　）

• A．f（x）=cos2x
• B．f(x)=cos(2x+

  π

  2

  )
• C．f（x）=cos6x
• D．f(x)=sin(4x+

  π

  2

  )

Answer 1

分析：考查各个选项中的函数是否是偶函数，且图象关于x=

π

4

对称，同时满足这两个条件的函数即为所求．

解答：解：由题意可得函数f（x）是偶函数且图象关于x=

π

4

对称．
由于f（x）=cos2x的图象的对称轴为2x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

2

，k∈z，故不满足条件．
由于f（x）=cos(2x+

π

2

)=-sin2x，不是偶函数，故不满足条件．
由于f（x）=xos6x的对称轴为 6x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

6

，k∈z，故不满足条件．
由于f（x）=sin（4x+

π

2

）=-cos4x，是偶函数，且对称轴为4x=kπ，k∈z，即 x=

π

4

，k∈z，故满足条件．
故选D．

点评：本题考查三角函数的奇偶性和对称性，以及诱导公式的应用，属于基础题．