Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=

0

，|

c

|=2

3

，

c

与

a

-

b

所成的角为120°，则当t∈R时，|t

a

+(1-t)

b

|的取值范围是

[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：由向量的运算法则作出图象，并可知图中的数量关系，把问题转换为|

AF

|的值，进而结合图象转化为：A到直线BD上动点的距离的取值范围，结合三角形的知识可得答案．

解答：解：如图所示，
记向量

AB

=

a

，

AC

=

b

，-

AC

=

c

，则

DB

=

a

-

b

由题意结合向量的加减运算可得AC=2

3

，∠AOB=120°
在结合数乘的意义可得：|t

a

+(1-t)

b

|=|t(

a

-

b

)+

b

|=|t

DB

+

AD

|=|

DF

+

AD

|=|

AF

|，
代表点A到直线BD上动点的距离，
而当t变化时，点F在直线BD上运动，当F运动到图中的点E处，
此时AE⊥BD，使点A到直线BD上动点的距离最小，
在RT△AOE中，AO=

3

，AE=AOsin∠AOB=

3

2

，故|t

a

+(1-t)

b

|≥AE=

3

2

，
故答案为：[

3

2

，+∞)

点评：本题为向量最值得求解，数形结合把问题转化为点A到直线BD上动点的距离是解决问题的关键，属中档题．