Question

如图，△ABC是边长为a的正三角形，现随机向圆所在区域投一点，则该点恰好落在△ABC内的概率是（　　）

• A．

  2 2

  3π

• B．

  3 3

  4π

• C．

  4 3

  3π

• D．

  2

  2π

Answer 1

分析：根据正三角形的性质算出外接圆半径等于

3

3

a，从而得到外接圆的面积S=

πa2

3

．再由三角形面积公式算出△ABC的面积S'=

3 a2

4

，根据几何概型公式加以计算，可得所求概率．

解答：解：设O为外接圆的圆心，则O是三条高线CD、BE、AF的交点，
可得CO=

2

3

CD=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a，
∴△ABC的外接圆面积为S=π×(

3

3

a)2=

πa2

3

又∵△ABC的面积为S'=

1

2

×a×a×sin60°=

3 a2

4

，
∴随机向圆所在区域投一点，
则该点恰好落在△ABC内的概率P=

S′

S

=

3 a2 4

πa2 3

=

3 3

4π

．
故选：B

点评：本题给出几何概型，求点恰好落在△ABC内的概率．着重考查了正三角形的性质、三角形与圆的面积计算和几何概型的计算等知识，属于中档题．