Question

若f（x）=xsinx+cosx，则f（-3）与f（2）的大小关系是

1. A.
   f（-3）＜f（2）
2. B.
   f（-3）＞f（2）
3. C.
   f（-3）=f（2）
4. D.
   不能确定

Answer 1

A
分析：先判断函数的奇偶性，然后利用作差法确定f（-3）-f（2）的符号，借助导数判断y=xsinx∈[，π]是减函数，从而确定f（-3）-f（2）的符号，得到选项．
解答：f（x）=xsinx+cosx
f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx
所以f（-x）=f（x），f（x）是偶函数
f（-3）=f（3）=3sin3+cos3
f（2）=2sin2+cos2
f（-3）-f（2）=3sin3+cos3-2sin2-cos2=（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）
余弦函数在[，π]闭区间内是递减的，所以cos3-cos2＜0；
因为y=xsinx，x∈[，π]可得y′=sinx+xcosx=sin（x+）+（x-1）cosx＜0，
函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，所以3sin3-2sin2＜0．
所以（3sin3-2sin2）+（cos3-cos2）＜0，于是f（-3）-f（2）＜0，
那么f（-3）＜f（2）
故选A．
点评：本题是中档题，考查正弦函数的单调性，利用导数判断函数的单调性是本题的难度，因为是选择题，可以借助特殊值比较大小，估计数轴即可，本题给出判断函数y=xsinxx∈[，π]是减函数，的证明方法，值得注意学习．