Question

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，其中O为原点，则实数a的值为（　　）

• A、2
• B、-2
• C、2或-2
• D、

  6

  或-

  6

Answer 1

分析：条件“|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积

OA

+

OB

|²=|

OA

-

OB

|²，

OA

•

OB

=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．

解答：解：由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|得|

OA

+

OB

|²=|

OA

-

OB

|²，

OA

•

OB

=0，

OA

⊥

OB

，
三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为

2

，即

|a|

2

=

2

，a=±2，故选C．

点评：若非零向量

OA

，

OB

，满足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，则

OA

⊥

OB

．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．
向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．