Question

已知f（x）=-2x²+2ax-a²b．
（I）当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设b使不为0的常数，解关于a的不等式f（1）+ab＜0．

Answer 1

分析：（I）将不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），转化为-1，3是方程-2x²+2ax-a²b=0的两个根，从而可求a=2，b=-

3

2

；
（Ⅱ）对任意实数a，f（2）＜0恒成立，等价于-8+4a-a²b0对任意实数a恒成立，从而可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）f（1）+ab＜0，即-2+2a-a²b+ab0，对参数b进行讨论，可解不等式．

解答：解：（I）∵不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），
∴-1，3是方程-2x²+2ax-a²b=0的两个根
∴

-2-2a-a2b=0 -18+6a-a2b=0

∴a=2，b=-

3

2

；
（Ⅱ）对任意实数a，f（2）＜0恒成立，等价于-8+4a-a²b＜0对任意实数a恒成立
即ba²-4a+8＞0对任意实数a恒成立
∴

b＞0 16-32b＜0

∴b＞

1

2

；
（Ⅲ）f（1）+ab＜0，即-2+2a-a²b+ab＜0
∴ba²-（2+b）+2＞0
∴（ba-2）（a-1）＞0
当b＜0时，

2

b

＜a＜1
当0＜b＜2时，a＜1，或a＞

2

b

当b=2时a≠1
当b＞2时，a＜

2

b

，或a＞1

点评：本题以函数为载体，考查不等式解集与方程根的关系，考查二次不等式恒成立问题，考查解不等式，正确分类是关键．