Question

如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60°，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60°．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求点C₁到平面A₁ED的距离．

Answer 1

分析：（I）由题意及△ABD为正三角形，和平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（II）由（I）的过程及直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁⊥面ABCD．利用三垂线定理的逆定理及条件得到二面角的平面角，然后在三角形中求解即可；
（III）由题意及平面A₁ED⊥面ABB₁A₁的性质定理得到FG是点F到平面A₁ED的距离，然后在三角形中解出即可．

解答：解：（I）证明：连接BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
∵E为AB的中点，
∴ED⊥AB，
在直六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，
∵ED?面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁，
∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁．
（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁
∵A₁E?面ABB₁A₁
∴A₁E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，
由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，
∴∠A₁EA=60°，
取BB₁的中点F，连EF．AB₁，则EF

∥ .

.

1

2

AB1，在直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁

∥ .

.

DC₁
∴EF

∥ .

.

1

2

DC1
∴E．F．C₁、D四点共面，
∵ED⊥面ABB₁A₁且EF?面ABB₁A₁
∴EF⊥ED
∴∠A₁EF为二面角A₁-ED-C₁的平面角，
在Rt△A₁AE中：A1E=

AE

cos600

=2a，AA1=A1Esin600=

3

a
在Rt△EBF中：EF=

a2+ 3 4 a2

=

7

2

a，
在Rt△A₁B₁F中：A1F=

4a2+ 3 4 a2

=

19

2

a
∴在Rt△A₁EF中：cos∠A1EF=

4a2+ 7 4 a2- 19 4 a2

2×2a× 7 2 a

=

7

14

，
∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值为

7

14

，
（III）过F作FG⊥A₁E交A₁E于G点
∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁
且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E
∴FG⊥平面A₁ED，
即：FG是点F到平面A₁ED的距离，
在Rt△EGF中：cos∠GEF=

7

14

∴sin∠GEF=

3 21

14

∴FG=EFsin∠GEF=

7

2

a×

3 21

14

=

3 3

4

a，
∵EF

∥ .

.

1

2

C1D且E．D∈面A₁ED
∴点C₁到平面A₁ED的距离为

3 3

2

a．

点评：此题重点考查了面面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理及性质定理，还考查了利用三垂线定理或其逆定理求找二面角平面角的方法，同时考查了学生的空间想象能力及利用三角形求角的大小的计算能力．